Добрый день! Красивое деревце, я бы тоже мимо такого не прошла. Что имеем. Давайте анализировать условия.
Аукуба — уличное растение. Любит много света, хоть и рассеянного. Много воздуха. Достаточно высокую влажность воздуха. Регулярные поливы.
При нехватке света лист растет более мелким, вытянутым. Кончики листьев сохнут у аукубы даже на юге, возле моря, поэтому возможно и влажности воздуха все же не хвататет, особенно, если теплый пол. Если растение посажено не в горшок со сливным отверстием, а в контейнер без сливного отверстия, может наблюдаться застой влаги в зоне корней, что тоже может вызывать почернение кончиков листьев.
Что можно сделать. Впереди весна — поэтому обрезать растение до компактных размеров, сформировать крону, как нравится. Выставить на улицу в притененный уголок. Если на улицу нет возможности выставить — поставить так, чтобы попадали скользящие лучи солнца, почаще проветривать помещение. и, отрегулировать поливы.